设f：Rn→Rn可微，且f′在Rn上连续，若存在常数c...

问答题设f：Rⁿ→Rⁿ可微，且f^′在Rⁿ上连续，若存在常数c〉0，使对一切x₁，x₂∈Rⁿ，均有‖f（x₁）-f（x₂）‖≥c‖x₁-x₂‖。试证明：f是Rⁿ上的一一映射。

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1.问答题 证明：若DRⁿ是凸开集，f：D→Rⁿ是D上的可微函数，则对任意两点a，b∈D，以及每一常向量β∈Rⁿ，必存在c=a+θ（b-a）D，0〈θ〈1，满足β^T[f（b）-f（a）]=β^Tf^′（c）（b-a）。

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2.问答题 设DRⁿ是开集，f：D→Rⁿ为可微函数，且对任何x∈D，detf^′（x）≠0，试证：若yf（D），φ（x）=‖y-f（x）‖²，则对一切x∈D，φ（x）≠0。

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3.问答题设w是三维空间中任一微分形式，其系数由二阶连续偏导数，则d（dw）=0。

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4.问答题 设曲面S由一般参量方程给出：，那么，第一型曲面积分计算公式为，试以外积为工具证明上述公式。

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5.问答题在R³中，设λ是p次微分形式，μ是q微分形式，证明：当p+q〉3时，便有λ∧μ=0。

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6.问答题在R³中，设λ是p次微分形式，μ是q微分形式，证明λ∧μ=（-1）^pqμ∧λ。

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7.问答题设λ，μ，ν是三个微分形式，证明：当μ和ν是次数相同的微分形式时，证明：λ∧（μ+ν）=λ∧μ+λ∧ν。

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8.问答题设λ，μ，ν是三个微分形式，证明：λ∧（μ∧ν）=（λ∧μ）ν。

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9.问答题设w₁=P₁dx+Q₁dy+R₁dz，w₂=P₂dx+Q₂dy+R₂dz，试求w₁∧w₂。

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10.问答题 对n次多项式进行因式分解：P_n（x）=xⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀=（x-r₁）…（x-r_n），从某种意义上来说，这也是一个反函数问题，因为多项式的每个系数都是它的n个根的已知函数，即a_i=a_i（r₁，r₂，…，r_n），i=0，1，…，n-1①，而我们感兴趣的是要得到用系数表示的根，即r_j=r_j（a₀，a₁，…，a_n-1），j=1，2，…，n②。试对n=2与n=3两种情况，证明：当方程P_n（x）=0无重根时，函数组①存在反函数组②。

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