对n次多项式进行因式分解：P_n（x）=xⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀=（x-r₁）…（x-r_n），从某种意义上来说，这也是一个反函数问题，因为多项式的每个系数都是它的n个根的已知函数，即a_i=a_i（r₁，r₂，…，r_n），i=0，1，…，n-1①，而我们感兴趣的是要得到用系数表示的根，即r_j=r_j（a₀，a₁，…，a_n-1），j=1，2，…，n②。试对n=2与n=3两种情况，证明：当方程P_n（x）=0无重根时，函数组①存在反函数组②。

设n〉2，DRⁿ为开集，φ，ψ：D→，f：D→R²，且f（x）=[φ（x），φ（x）ψ（x）]^T，x∈D，证明：在满足f（x₀）=0的点x₀处，rankf^′（x₀）〈2，但是由方程f（x）=0仍可能存在点x₀的邻域内确定隐函数g：E→R²，ER^n-2。

设ERⁿ，点x∈Rⁿ到集合E的距离定义为ρ（x，E）=ρ（x，y）。若是E连同其全体聚点所组成的集合（称为E的闭包），则={x∣ρ（x，E）=0}。

设ERⁿ，点x∈Rⁿ到集合E的距离定义为ρ（x，E）=ρ（x，y）。证明：若E是闭集，xE，则ρ（x，E）〉0。

设φ：R→R二阶可导，且有稳定点：f：R→R，且f（x）=φ（a·x），a，x∈R，a0。证明f的所有稳定点都是退化的，即在这些稳定点处，f^″（x）是退化矩阵（即在稳定点处detf^″（x）=0）。