证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．

问答题证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．

1.问答题设环R有单位元（用1表示），又a，b∈R.证明：如果a+b=ab且1-a在R中有逆元，则ab=ba．

2.问答题证明：对有单位元的环来说，其加法满足交换律可以由环定义中其他条件推出．

3.问答题 证明：加群G的全体自同态映射对以下运算
（σ-τ）a=σa+τa，
（στ）a=σ（τa）（∀a∈G）
作成一个有单位元的环（称为加群G的自同态环）.

4.问答题如果环R中元素a满足a²=a，则称为R的幂等元．如果环R中个元素都是幂等元，则称R为布尔（G.Boole，1815-1864）环．

5.问答题 设R为所有有理数对（x₁，x₂）作成的集合，加法与乘法分别为
（a₁，a₂）+（a₁，a₂）=（a₁+b₁，a₂+b₂），
（a₁，a₂）（a₁，a₂）=（a₁b₁，a₂b₂）.
问：R是否作成环？是否可换和有单位元？哪些元紊有逆元？

6.问答题 数域F上一切形如

的方阵对普通加法和乘法是否作成环？是否可换和有单位元？哪些元素有逆元？

7.问答题 设R为实数集.问：R关于数的苷通加法以及新规定的乘法
a·b=∣a∣b
是否作成环？

8.问答题设Z^*_n为模n剩余类环Z_n的单位群，证明：Z^*_n中每个元素都满足x²=1的充要条件是，n为以下整数：2，3，4，6，8，12，24。

9.问答题设R是一个有单位元的交换环，证明：0≠f（x）是R[x]的零因子⇔有0≠c∈R使cf（x）=0。

10.问答题设R是一个p²（p为素数）阶环，证明：R是NF-环⇔R是域或R≌Z_p⊕Z_p。