设有域F⊆K⊆E，且〈K：F〉=m，a∈E是F上一个n次代数元，又（m，n）=1.证明：a也是域K上的一个n次代数元.

设x3-a是Q上一个不可约多项式，而a是x3-a的一个根．证明：Q（a）不是x3-a在Q上的分裂域.

设F为q阶有限域，f（x）为F上n次不可约多项式．证明：f（x）∣xqn-1-1.

设F是一个域.证明：乘群F*为循环群F是有限域．

问：Q上的单扩域Q（）是不是Q上某个多项式在Q上的分裂域.

设p是一个素数，E是xp-1在Q上的分裂域.证明：（E：Q）=p-1.

证明：φ：a→aφ是伽罗瓦域GF（pn）的一个自同构，且这个自同构在GF（pn）的自同构群中的阶是n.

设域F不是完全域且charF=p.证明：p（x）=xpn-a（a∈F）在域F上不可约的充要条件是，a不是F中任何元素的p次幂．

设p（x）是域F上的一个n次不可约多项.证明：商域F[x]/〈p（x）〉中的每个元素都可惟一地表示成a0+a1x+...+an-1xn-1+〈p（x）〉（ai∈F）.

证明：域F上未定元x的有理分式域F（x）是F的一个纯超越扩域.