定义N上的函数以μ（n）为μ（n）称为Mobius函数。证明

问答题 定义N上的函数以μ（n）为
μ（n）称为Mobius函数。证明

1.问答题设m，n∈N，且（m，n）=1.证明φ（mn）=φ（m）φ（n）

2.问答题 设F是域，f（x）∈F[x]无重根，又K为f（x）的分裂域，u1，u2，…，un，（n=degf（x））是不定元。记=F（u1，u2，…，un），为f（x）∈[x]的分裂域，证明Gal（/）与Gal（K/F）同构。

3.问答题 设G是有限群，证明存在域F及其Galois扩张K，使得Gal（K/F）G.

4.问答题 设F是域，ChF≠2.又x1，x2，…，xn是不定元，p1，p2，…，pn为x1，x2，…，xn的初等对称多项式，记Gal（F（x1，x2，…，xn）/F（p1，p2，…，pn）为Sn.证明InvAn=F（p1，p2，…，pn，Δ）.其中Δ=

5.问答题设σ1，σ2，…，σn是域K的自同构，且i≠j时，σi≠σj．试证：[K：F]≥n

6.问答题设σ1，σ2，…，σn是域K的自同构，且i≠j时，σi≠σj．试证：σ1，σ2，…，σn是线性无关的线性变换组

7.问答题设域F的特征是p。试证x^p-x-a∈F[x]或者不可约，或者为一次因式的乘积。又设K为x^p-x-a的分裂域，求Gal（K/F）

8.问答题设是x³+x²-2x-1∈Q[x]的一个根，证明：r²-1也是一个根；Q（r）是Q上的正规扩张，并求Gal（Q（r）/Q）.

9.问答题设K=Q（√2，√3，√5）．求Gal（K/Q）的所有子群以及对应的子域。

10.问答题 设K是x³-2∈Q[x]的分裂域，求Gal（K/Q）的所有子群以及对应的子域，并证明Gal（K/Q）S₃