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问答题 试证明两连续随机变量之间的平均互信息I（X；Y）是输入随机变量X的概率密度函数p（x）的型凸函数。

参考答案：

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1.问答题 N维连续型随机序列X1X2...XN，其各分量幅度分别受限为[ai，bi]。证明：当随机序列的分量各自达到均匀分布并彼此统计独立时熵最大。最大熵为：

参考答案：

2.问答题 N维连续型随机序列X1X2...XN，有概率密度p（X1X2...XN）以及证明：当随机序列的分量各自达到正态分布并彼此统计独立时熵最大。最大熵为：

参考答案：

3.问答题设连续随机变量X，已知X≥0，其平均值受限，即数学期望为A，试求在此条件下获得的最大熵的最佳分布，并求出最大熵。

参考答案：

4.问答题 在连续信源中，根据差熵、条件差熵和联合差熵的定义，证明
（1）h（X|Y）≤h（X），当且仅当X和Y统计独立时等号成立；
（2）h（X1X2...XN）≤h（X1）+h（X2）+h（XN），当且仅当X1X2...XN彼此统计独立时等式成立。

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5.问答题 有一信源发出恒定宽度，但不同幅度的脉冲，幅度值处在a1和a2之间，此信源连至某信道，信道接收端接收脉冲的幅度y处在b1和b2之间。已知随机变量X和Y的联合概率密度函数：

试计算h（X），h（Y），h（XY）和I（X；Y）。

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6.问答题设一连续消息通过某放大器，该放大器输出的最大瞬时电压b，最小瞬时电压为a。若消息从放大器中输出，问放大器输出消息在每个自由度上的最大熵是多少？又放大器的带宽为F，问单位时间内输出最大信息量是多少？

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7.问答题 设给定两随机变量X1和X2，它们的联合概率密度为：

求随机变量Y1=X1+X2的概率密度函数，并计算变量Y的熵h（Y）。

参考答案：

8.问答题 设有一连续随机变量，其概率密度函数为：

试求这随机变量的熵。又若Y1=X+K（K>0），Y2=2X，试分别求出Y1和Y2的熵h（Y1）和h（Y2）。

参考答案：

9.问答题 若有两个串接的离散信道，它们的信道矩阵都是

并设第一个信道的输入符号X ∈{a₁，a₂，a₃，a₄}是等概率分布，求I（X；Z）和I（X；Y）并加以比较。

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10.问答题 把n个二元对称信道串接起来，每个二元对称信道的错误传递概率为p。证明这n个串接信道可以等效于一个二元对称信道，其错误传递概率为：

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