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问答题 在连续信源中，根据差熵、条件差熵和联合差熵的定义，证明
（1）h（X|Y）≤h（X），当且仅当X和Y统计独立时等号成立；
（2）h（X1X2...XN）≤h（X1）+h（X2）+h（XN），当且仅当X1X2...XN彼此统计独立时等式成立。

参考答案：

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1.问答题 有一信源发出恒定宽度，但不同幅度的脉冲，幅度值处在a1和a2之间，此信源连至某信道，信道接收端接收脉冲的幅度y处在b1和b2之间。已知随机变量X和Y的联合概率密度函数：

试计算h（X），h（Y），h（XY）和I（X；Y）。

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2.问答题设一连续消息通过某放大器，该放大器输出的最大瞬时电压b，最小瞬时电压为a。若消息从放大器中输出，问放大器输出消息在每个自由度上的最大熵是多少？又放大器的带宽为F，问单位时间内输出最大信息量是多少？

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3.问答题 设给定两随机变量X1和X2，它们的联合概率密度为：

求随机变量Y1=X1+X2的概率密度函数，并计算变量Y的熵h（Y）。

参考答案：

4.问答题 设有一连续随机变量，其概率密度函数为：

试求这随机变量的熵。又若Y1=X+K（K>0），Y2=2X，试分别求出Y1和Y2的熵h（Y1）和h（Y2）。

参考答案：

5.问答题 若有两个串接的离散信道，它们的信道矩阵都是

并设第一个信道的输入符号X ∈{a₁，a₂，a₃，a₄}是等概率分布，求I（X；Z）和I（X；Y）并加以比较。

参考答案：

6.问答题 把n个二元对称信道串接起来，每个二元对称信道的错误传递概率为p。证明这n个串接信道可以等效于一个二元对称信道，其错误传递概率为：

参考答案：

7.问答题证明：若（X，Y，Z）是马氏链，则（Z，Y，X）也是马氏链。

参考答案：

8.问答题 从平均互信息的表达式证明，当信道和信源都是无记忆时，有：

参考答案：

9.问答题试证明H（X）是输入概率分布P（x）的上凸函数。

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10.问答题 求下图中信道的信道容量及其最佳的输入概率分布，并求出Σ=0时的信道容量C。

参考答案：