设p是素数，令Qp={m/pk∣m∈Z}.则Qp是加群Q的子群，且Z&#88...

问答题设p是素数，令Qp={m/pk∣m∈Z}.则Qp是加群Q的子群，且Z⊆Qp.于是商群Qp/Z是一个Z-模．作映射f为f（x）=px.∀x∈Qp/Z.试证明：f不是环End_Z（Qp/Z）的左零因子

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1.问答题设p是素数，令Qp={m/pk∣m∈Z}.则Qp是加群Q的子群，且Z⊆Qp.于是商群Qp/Z是一个Z-模．作映射f为f（x）=px.∀x∈Qp/Z.试证明：f不是一一映射

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2.问答题设p是素数，令Qp={m/pk∣m∈Z}.则Qp是加群Q的子群，且Z⊆Qp.于是商群Qp/Z是一个Z-模．作映射f为f（x）=px.∀x∈Qp/Z.试证明：f∈End_Z（Qp/Z）

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3.问答题设R是交换么环，M为秩n的自由R-模，f∈End_RM，试证f为一一的模同态当且仅当f不是环End_RM的左零因子。

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4.问答题 设R为交换整环，M是秩n的自由R-模，u1，u2，…，un为一组基，f1，f2，…，fn∈M，K=是M的子模，证明K是秩n的自由R-模当且仅当
det（crdf1，crdf2，…，crdfn）≠0
且此时对∀x=x+K∈M/K有
det（crdf1，crdf2，…，crdfn）·x=0

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5.问答题设R为交换么环，η是R^（n）的自同态．若η是R^（n）的一一同态，试问η是否为R^（n）的自同构？

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6.问答题设R为交换么环，η是R^（n）的自同态．试证η若为满自同态则必为R^（n）的自同构．

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7.问答题 设X={x1，x2，x3}，求由生成的F（X）的正规子群五在K（X）中的指数．

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8.问答题 设S，T是群G的子集，且gSg^-1⊆S，∀g∈G，试证：是G中包含T的最小正规子群，

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9.问答题 R-模M的任一子模序列
L1⊆L2⊆…⊆Ln⊆…
有n使L_n+i=Ln，i=1，2，…．则称M满足升链条件，或称M为Noether模．
若R-模M的任子模序列
L1⊇L2⊇…⊇Ln⊇…
有n使L_n+i=Ln，i=1，2，…．则称M满足降链条件，或称M为Artin模．
证明R-模M有合成序列当且仅当M既是Noether模又是Artin模。

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10.问答题 设φ是群G到群H上的同态，又
G=G1⊃G2⊃…⊃Gr={1}
是G的合成序列．证明
H=H1⊇φ（G2）⊇…⊇φ（Gr）={1}
中不同的子群也是H的合成序列．

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