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问答题 设I_j，j=1，2…，都是环R的理想，且I₁⊆I₂⊆…。证明是R的理想。

参考答案：

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1.问答题证明：阶小于或等于5的群都是交换群

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2.问答题设I₁，I₂是环R的理想，证明：并集I₁∪I₂是R的理想的充要条件是：I₁⊆I₂或者I₂⊆I₁。

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3.问答题 设G是有限群，p为素数，如果G的每个元素的阶都是p的方幂，则称G是p^-群，证明：G是p^-群|G|是p的一个幂

参考答案：

4.问答题设R是环。证明：如果R是幺环则λ一定是单的环同态。

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5.问答题设G是有限群，p为素数，r≥1，如果p^r||G|，证明：G一定有阶为p^r的子群

参考答案：

6.问答题设R是环。证明：举例说明λ不一定是单的环同态。

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7.问答题设R是环。证明：映射λ：R→End（R，+）。a→λ_a，是环同态。（End（R，+）是幺环）

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8.问答题设G和G′分别是阶为m和n的有限循环群，证明：存在G到G′的满同态的充要条件是n|m

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9.问答题设R是环。证明：任给定a∈R，定义变换λ_a：R→R，x→ax。则λ_a是加群（R，+）的加群自同态，即λ_a∈End（R，+）。

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10.问答题设G是群，H是G的正规子群，[G：H]=n，证明：对于任意的a∈G都有aⁿ∈H

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