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问答题 设f：I→R是任一函数，x₀∈I，证明f（x）在x₀处可导的充要条件是：存在一个函数φI→R，使f（x）-f（x₀）=φ（x）（x-x₀），x∈I；此时，f′（x₀）=φ（x₀）.

参考答案：

证：

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1.问答题 设y=f（x）=，证明：x=f（y）.

参考答案：

证：由y=f（x）=，得cxy-ay=ax+b，即x=，所以x=f（y）.

2.问答题设p是坐标平面R²到x轴上的投影映射，问p是否单射或满射？并求p^-1（p（1，1）），p（p^-1（1，0））），p^-1（1，0）∩p^-1（3，0）.

参考答案：

解：p为满射但不是单射.

3.问答题设f：A→B与g：B→A是两个任意映射，若g°f=IA；证明f是单射，g是满射.

参考答案：

证：

4.问答题设f和g都是R到自身的映射：f：x|→x+a，g：|→x-a，x∈R，证明他们互为逆映射.

参考答案：

证：

5.问答题 设有一对新出生的兔子，两个月之后成年，从第三个月开始，每个月产一对小兔，且新生的每对小兔也在出生两个月之后成年，第三个月开始每月生一对小兔．假定出生的兔子均无死亡；
（1）问一年后共有几对兔子？
（2）问个月之后有多少对兔子？
（3）若n个月之后有F_n对兔子，试求（题中所讲的一对兔子均是雌雄异性的）.说明：该间题是意大利数学家Fibonacci于十三世纪初（1202年）研究免子繁殖过程中数量变化规律时提出来的，其中的数列F_n被后人称为Fibonacci数列.有趣的是，极限
正是“黄金分割”数，在优选法及许多领域得到很多新的应用.

参考答案：

解：先用作图方法来推算一下，见图1.6.1.

6.问答题证明：若f在有限区间I上一致连续，则f在I上有界.

参考答案：

证：

7.问答题证明：若a_n＞|a_n-1|+|a_n-2|+…+|a₁|+|a₀|，则方程a_ncosnx+a_n-1cos（n-1）x+…+a₀=0在（0，2π）内至少有2n个根.

参考答案：

证：因为

8.问答题设f∈c（-∞，+∞），并且f是奇函数，证明：方程f（x）=0至少有一个根.若f是严格单调的，则x=0是它的唯一根.

参考答案：

证：

9.问答题 设f∈c[a，b]，{x_n}[a，b]是任一数列.若f（x）=A∈R，证明：方程f（x）=A在[a，b]内必有一根.

参考答案：

证：

10.问答题 设f∈c[a，b]，并且x∈[a，b]，y∈[a，b]，使f（y）=|f（x）|，证明：存在ξ∈[a，b]，使f（ξ）=0.

参考答案：

证：