证明f（x）=ex。_考试资料网

问答题

设f（x）=（-∞〈x〈+∞）

证明f（x）=e^x。

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1.问答题 设f（x）=（-∞〈x〈+∞）
通过逐项求导的方法证明f（x）满足微分方程f′（x）=f（x）（-∞〈x〈+∞），且f（0）=1。

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2.问答题设f（x）=㏑x，则根据定义写出f（x）在x₀=1的泰勒级数。

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3.问答题 设λ〉0，且级数收敛，证明函数当α>1时绝对收敛。

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4.问答题 设u_n≤C_{n≤v_n}（n=1，2，…），并且级数和都收收敛，证明级数也收敛。

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5.问答题设银行存款的年利率为10％，若以年复利计算，应在银行中一次存入多少资金才能保证从存入之后起，以后每年能从银行提取500万元以支付职工福利直至永远。

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所需存入的金额为

6.问答题将循环小数O.41414141…写成无穷级数形式并用分数表示。

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7.问答题设有某种耐用的新商品在某地区进行推销，最初商家会采取各种宣传活动以打开销路，假设该商品确实受欢迎，则消费者会相互宣传，使购买人数逐渐增加．销售速率逐渐增大，但由于该地区潜在消费总量有限，所以当购买者占到潜在消费总量的一定的比例时，销售速率又会逐渐下降，且该比例越接近于1，销售速率越低，这时商家就应更新商品了。分析x（t）的性态，给出商品的宣传和生产策略。

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8.问答题设有某种耐用的新商品在某地区进行推销，最初商家会采取各种宣传活动以打开销路，假设该商品确实受欢迎，则消费者会相互宣传，使购买人数逐渐增加．销售速率逐渐增大，但由于该地区潜在消费总量有限，所以当购买者占到潜在消费总量的一定的比例时，销售速率又会逐渐下降，且该比例越接近于1，销售速率越低，这时商家就应更新商品了。假设t=0时.x（t）=x₀，求出x（t）。

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9.问答题设有某种耐用的新商品在某地区进行推销，最初商家会采取各种宣传活动以打开销路，假设该商品确实受欢迎，则消费者会相互宣传，使购买人数逐渐增加．销售速率逐渐增大，但由于该地区潜在消费总量有限，所以当购买者占到潜在消费总量的一定的比例时，销售速率又会逐渐下降，且该比例越接近于1，销售速率越低，这时商家就应更新商品了。假设潜在消费者总量为N，任一时刻t己经出售的新商品总量为x（t），试建立x（t）所满足的微分方程。

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10.问答题 设函数u=f（r），在r>0内满足拉普拉斯（Laplace）方程,其中f（r）二阶可导，且f（1）=f′（1）=1，求f（r）。（提示：将所给的拉普拉斯方程化成以r为自变量的常微分方程）

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