若{an}与{bn}是两个发散数列，它们的和与积是否发散？为什么？若其中一个...

问答题若{a_n}与{b_n}是两个发散数列，它们的和与积是否发散？为什么？若其中一个收敛，一个发散，它们的和与积的收敛性又如何？

解：

1.问答题设由数列{a_n}的奇数项与偶数项组成的两个子列收敛与同一个极限a，证明：{a_n}收敛于a.

证：

2.问答题设A、B是两个集合，若存在一个从A到B上的一一映射f，则称A与B等势（或有相同的基数），记作A∽B.证明：区间[0，1]与区间[a，b]等势，其中a、b∈R.

证：

3.问答题 凡与自然数N₊一一对应的集合称为可数无穷集简称可数集，证明：
（1）正偶数集与正奇数集都是可数集；
（2）若A、B都是可集数，则A∪B也是可数集；
（3）整数集Z是可数集。

证：

4.问答题 设映射f：X→Y，A、BX，证明：
（1）f（A∪B）=f（A）∪f（B）；
（2）f（A∩B）f（A）∩f（B）；
（3）f（A\B）f（A）\f（B）；
（4）若f为单射，则（2）、（3）两式都变为等式.

证：

5.问答题 证明：
（1）A∪（A∩B）=A；
（2）A\B=A∩B^c；
（3）
（4）

证：

6.问答题 已知A与B分别为下列两个给定的集合：
（1）A={x|1≤x≤2}∪{x|5≤x≤6}{3}，B={y|2≤y≤3}；
（2）A={x|-∞＜x＜∞}，B={y|-1≤y≤1}∩{y|siny=}在平面直角坐标系内画出A×B.

解：如图所示：A×B={（x,y）|x∈A，y∈B}.

7.问答题 设A、B分别为下列两个给定的集合：
（1）A={1，2，5，7，8}，B={2，4，6，8}；
（2）A为平面上平行四边形的全体，B为矩形的全体；
（3）

解：

8.问答题 证明：Rⁿ按照范数‖x‖_∞=构成Banach空间

9.问答题证明：在赋范线性空间中，任何收敛点列都是基本列；任何基本列都是有界的．

10.问答题 设X为赋范线性空间，xn，yn，x，y∈X（n∈N₊）.若数列λn→λ，且xn→x，yn→y（n→∞）.证明：