设二维随机变量（𝜉，𝜂）具有联合密度函数如下，证明：𝜉+𝜂的特征函数等于𝜉，𝜂的特征函数之乘积，但是𝜉，𝜂并不相互独立.

设𝜉₁，𝜉₂，···，𝜉_𝑛为独立同𝐺𝑎（𝛼，𝜆）的随机变量，

某厂生产某产品1000件，其价格为P=2000元/件，其使用寿命X（单位：天）的分布密度为

现由某保险公司为其质量进行保险：厂方向保险公司交保费P₀元/件，若每件产品若寿命小于1095天（3年），则由保险公司按原价赔偿2000元/件. 试利用中心极限定理计算 
（1） 若保费P₀=100元/件，保险公司亏本的概率？ 
（2） 试确定保费P₀，使保险公司亏本的概率不超过1%.

设𝜉₁，𝜉₂，···，𝜉_𝑛是𝑛个独立且都服从相同柯西分布的随机变量，证明：

证明下列函数是特征函数，并求出它的分布函数.

设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数

求Z=max{X，Y}的密度函数.

设𝜙（𝑡）是一个特征函数，ℎ>0，证明

试举一个满足
（1）𝜙（⇐t）=𝜙（𝑡）
（2）.|𝜙（t）|≤𝜙（0）=1
但𝜙（t）不是特征函数的例子.

判别下列函数是否是特征函数（说明理由）。