设（m，n）=1.证明G（xmn-1，Q）同构于G（xm-1，Q）与G（xn-1，Q）的直积。

设A，B均为C上n阶方阵．试证A，B相似的充要条件是rank（aln-A）k=rank（aln-B）k，∀a∈C，k∈N.

设K=Q（√2，√3，√5）．求Gal（K/Q）的所有子群以及对应的子域。

设F是域，f（x）∈F[x]无重根，又K为f（x）的分裂域，u1，u2，…，un，（n=degf（x））是不定元。记=F（u1，u2，…，un），为f（x）∈[x]的分裂域，证明Gal（/）与Gal（K/F）同构。

设n=p1m1p2m2…psms为互不相等的素数，mi∈N.以γ（n）表示互不同构的n阶Abel群的同构类数．证明：

设G是有限群，证明存在域F及其Galois扩张K，使得Gal（K/F）G.

设D为Euclid环．c，k∈D，且c≠0．试证：A∈Mn（D）可逆当且仅当A可表示为P（i，j），P（c，i），P（k，i，j）型的矩阵的乘积

证明∀n∈N，γ（n）≠13

设是x3+x2-2x-1∈Q[x]的一个根，证明：r2-1也是一个根；Q（r）是Q上的正规扩张，并求Gal（Q（r）/Q）.

设F是域，p是素数，且p≠ChF，a∈F，证明xp-a或为F[x]中不可约多项式，或在F中有根。