设D为Euclid环．c，k∈D，且c≠0．试证：A∈Mn（D）可逆当且仅当A可表示为P（i，j），P（c，i），P（k，i，j）型的矩阵的乘积

设K是x3-2∈Q[x]的分裂域，求Gal（K/Q）的所有子群以及对应的子域，并证明Gal（K/Q）S3

设（m，n）=1.证明xmn-1∈Q[x]的分裂域与（xm-1）（xn一1）∈Q[X]的分裂域相同。

求Q[λ]上4阶方阵的标准形，并求可逆矩阵P，Q，使PAQ为标准形．

设σ1，σ2，…，σn是域K的自同构，且i≠j时，σi≠σj．试证：[K：F]≥n

设域F的特征是p。试证xp-x-a∈F[x]或者不可约，或者为一次因式的乘积。又设K为xp-x-a的分裂域，求Gal（K/F）

设A是域F上n阶方阵．证明A为幂零方阵当且仅当A相似于准对角方阵diag（N1，N2，…Ns）其中Ni形如

设n=p1m1p2m2…psms为互不相等的素数，mi∈N.以γ（n）表示互不同构的n阶Abel群的同构类数．证明：

设D为Euclid环，A∈Mn（D），detA≠0，证明存在Mn（D）中可逆矩阵P使得其中di≠0，且δ（entij（PA））＜δ（di），j＜i

对于k≤12，求最小正整数nk使得γ（nk）=k.