设V是域F上的线性空间．试证：非零向量x1，x2，…，xn线性无关当且仅当子...

问答题设V是域F上的线性空间．试证：非零向量x1，x2，…，xn线性无关当且仅当子空间F_xi无关，i=1，2，…，n

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1.问答题 设M是R-模．x1，x2，…，xn∈M称作线性无关的，如果对R中任意n个不全为零的元素a1，a2，…，an，有≠0，否则称为线性相关的．设R是交换么环，I是R的理想，于是I是R-模，试证n＞2时，x1，x2，…，xn∈I一定是线性相关的。

参考答案：

2.问答题设M是R-模，f∈End_RM.试举例说明1）的逆命题不成立．

参考答案：

3.问答题设M是R-模，f∈End_RM.证明若f是满同态，则f不是环End_RM的右零因子．

参考答案：

4.问答题设p是素数，令Qp={m/pk∣m∈Z}.则Qp是加群Q的子群，且Z⊆Qp.于是商群Qp/Z是一个Z-模．作映射f为f（x）=px.∀x∈Qp/Z.试证明：Qp/Z不是自由Z-模

参考答案：

5.问答题设p是素数，令Qp={m/pk∣m∈Z}.则Qp是加群Q的子群，且Z⊆Qp.于是商群Qp/Z是一个Z-模．作映射f为f（x）=px.∀x∈Qp/Z.试证明：f不是环End_Z（Qp/Z）的左零因子

参考答案：

6.问答题设p是素数，令Qp={m/pk∣m∈Z}.则Qp是加群Q的子群，且Z⊆Qp.于是商群Qp/Z是一个Z-模．作映射f为f（x）=px.∀x∈Qp/Z.试证明：f不是一一映射

参考答案：

7.问答题设p是素数，令Qp={m/pk∣m∈Z}.则Qp是加群Q的子群，且Z⊆Qp.于是商群Qp/Z是一个Z-模．作映射f为f（x）=px.∀x∈Qp/Z.试证明：f∈End_Z（Qp/Z）

参考答案：

8.问答题设R是交换么环，M为秩n的自由R-模，f∈End_RM，试证f为一一的模同态当且仅当f不是环End_RM的左零因子。

参考答案：

9.问答题 设R为交换整环，M是秩n的自由R-模，u1，u2，…，un为一组基，f1，f2，…，fn∈M，K=是M的子模，证明K是秩n的自由R-模当且仅当
det（crdf1，crdf2，…，crdfn）≠0
且此时对∀x=x+K∈M/K有
det（crdf1，crdf2，…，crdfn）·x=0

参考答案：

10.问答题设R为交换么环，η是R^（n）的自同态．若η是R^（n）的一一同态，试问η是否为R^（n）的自同构？

参考答案：