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问答题

设多项式

为GF（2）上分组长度为15的一个循环码的生成多项式。

这个码能检测多少个错误？

参考答案：

建立如下表格：

由该表格可以看出，该码的最小距离为7。
即：d^*=7
故可知，该码可以检测d^*-1=6个错误。

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1.问答题 设多项式

为GF（2）上分组长度为15的一个循环码的生成多项式。
试求奇偶校验矩阵H。

参考答案：

由于已知分组长度为15，设奇偶校验多项式为h（x），则有：

其中，上式为取模运算。
故，对应的奇偶校验矩阵为：

2.问答题 设多项式

为GF（2）上分组长度为15的一个循环码的生成多项式。
求生成矩阵G。

参考答案：

3.问答题找出所有分组长度为5的二元循环码，求出每个码的最小距离。

参考答案：要找到分组长度为5的所有2元循环码，首先要分解x⁵-1

在GF（2）中，是既...

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4.问答题 为下列定义的多项式环构造加法和乘法表
（1）定义在GF（2）上的
（2）定义在GF（3）上的

参考答案：

（1）首先判断得环的多项式的最高次数=1，环中有四个元素，分别为0，1，x，x+1。所得加法表如下：

5.问答题 下面的哪个码是（a）循环码，（b）与一个循环码等价？

（5）长度为n的q-元重复码。

参考答案：
显然C₁不满足线性码的第一个条件，则它不是一个线性码，就不可能是一个循环码。

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6.问答题 用r_H来表示二元汉明码的码率，求。

参考答案：

根据二元汉明码的性质可知：

其中m是任意正整数。
则由码率的定义可知：

7.问答题 设C是长度为n，最小距离为7的二元完备码。证明n=7或n=23。
证明：由完备码的定义可知，一个完备码必须满足下列条件：

参考答案：

同理，可证得n=23时，同样满足（1）式。
故可证明当n=7或n=23时，C是二元完备码。

8.问答题 假设是一个二元码，它的奇偶校验矩阵为H。证明由C通过添加整体奇偶校验比特得到的扩展码C₁的奇偶校验矩阵为

参考答案：

根据题意，扩展码C₁为：

即扩展码C₁的奇偶校验矩阵为H_i。
证毕。

9.问答题考虑（23，12，7）二元码。证明若它被用在一个比特错误概率为p=0.01的二元对称信道（BSC）中，字错误概率将约为0.00008。

参考答案：由题可得其转移概率p=0.01，在（23，12，7）二元码中其可以纠出
2t+1>=7，t=3位错误

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10.问答题 对下列每一个集合S，列出扩张码：

参考答案：（1）0101+1010=1111，0101+1100=1001
1010+1100=0110，0101+10...

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