设域F不是完全域且charF=p.证明：p（x）=xpn-a（a∈F）在域F上不可约的充要条件是，a不是F中任何元素的p次幂．

设α是域F上不可离元，又charF=p.证明：若pr（r>0），则α’也是F上的不可离元．

求f（x）=x3-x2-x-2在Q上的分裂域．

设Q是有理数域，i是虚单位．证明：Q（，i）=Q（+1）.

证明：任何有限域都有比它大的代数扩域.

设p是一个素数.证明：对任意正整数n，都存在一个在域Zp上不可约的n次多项式．

问：复数i及在有理数域Q上的最小多项式各为何？又单扩域Q（i）与Q（）是否同构？

证明代数数的和仍为代数数.

假定Φ是A与间的一个一一映射，a是A的一个元。Φ-1[Φ（a）]=？Φ[Φ-1（a）]=？若Φ是A的一个一一变换，这两个问题的回答又该是什么？

设E是域F的一个4次扩域，且charF≠2.证明：存在中间域K使〔K：F〕=2当且仅当E=F（α），而α在F上的最小多项式为x4+ax3+b，（a，b∈F）.