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问答题 设E为直线R上的任一点集，称
为集E的特征函数，证明：若E是可测集，则x_E是直线R上的可测函数.

参考答案：

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1.问答题设f是E上的可测函数，E1是的一个可测子集，证明f在E1上也是可测函数．

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2.问答题设f与g都是E上的可测函数，证明E（f≥g）={x∣f（x）≥g（x），x∈E}也是可测集.

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3.问答题 设E1与E2都是有界可测集，且E1⊆E2证明
m（E2\E1）=mE2-mE1

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4.问答题证明：两个零测集的交与并都是零测集．

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5.问答题利用外测度的定义证明：若E1⊆E2，则m·E1≤m·E2.

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6.问答题证明：A={x∈C（[0，1]）∣x（t）>0，∀t∈[0，1]}，是连续函数空间C（[0，1]）中的一个闭凸集．

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7.问答题 设X是Banach空间，是一个闭球套，即
证明：存在着唯一的点x∈X，使

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8.问答题证明：赋范线性空间中的任何完备子空间中的任何完备子空间是闭子空间.

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9.问答题 设X是任一集合，若对任意的x，y∈Z.都存在一个实数与它们相对应，记作ρ（x，y），并且满足下列条件（称为距离公理）：
（1）非负性ρ（x，y）≥0，且ρ（x，y）=0⇔x=y
〈2）对称性ρ（x，y）=ρ（y，x）
（3）三角不等式ρ（x，y）≤ρ（x，z）+ρ（z，y）
则称ρ（x，y）为x与y之间的距离，并称定义了距离的集合为距离空间或度量空间，证明：n维Euclid空间Rⁿ，连续函数空间C（[a，b]）与p方可和数列空间l^p都是距离空间．

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10.问答题 设X是实内积空间，x，y∈X
证明〈x，y〉=1/4‖x+y‖²-1/4‖x-y‖²

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