设总体X服从正态分布N（0，θ），X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的样本，又设参数θ的先验分布为逆伽玛分布（记作θ~IΓ（α，λ）），即θ的先验密度函数为

假定损失函数是，试求参数θ的贝叶斯估计。

设X服从贝努里分布B（1，p），其中参数p的先验分布为区间（0，1）的均匀分布，X₁，X₂，…，X_n为来自总体X的样本，试在损失函数下，试证明p的贝叶斯估计为，且它的风险函数是常数。

设总体X服从参数为θ的指数分布E（θ），即X的概率密度函数为，X₁，X₂，…，X_n为来自总体X的样本，θ的先验分布为Γ分布，其密度函数为

其中α＞-1，β＞0，损失函数为，求θ的贝叶斯估计。

设总体X服从泊松分布P（λ），其中λ未知参数，λ＞：X₁，X₂，…，X_n为来自总体X的样本，损失函数为，假定λ的先验分布密度为

试求λ的贝叶斯估计。

当先验分布为离散型时，后验分布的概率密度函数为：

试证明当总体分布密度函数为p（x；θ），θ∈Θ，且θ得先验分布的密度函数为π（θ）时，θ的后验分布可以按下列公式计算。

当先验分布为连续型时，后验分布的概率密度函数为：

设（X₁，X₂，…，X_n）是来自正态总体N（μ，σ²）的样本，其中μ，σ²未知，-∞＜μ＜+∞，σ²＞0，现给出σ²的三种估计量：

试求在平方损失函数L（σ²，d）=（σ²-d）²下的风险函数，并比较风险函数值的大小。