设是x3+x2-2x-1∈Q[x]的一个根，证明：r2-1也是一个根；Q（r）是Q上的正规扩张，并求Gal（Q（r）/Q）.

设F是域，p是素数，且p≠ChF，a∈F，证明xp-a或为F[x]中不可约多项式，或在F中有根。

设D为Euclid环，A∈Mn（D），detA≠0，证明存在Mn（D）中可逆矩阵P使得其中di≠0，且δ（entij（PA））＜δ（di），j＜i

对于k≤12，求最小正整数nk使得γ（nk）=k.

设K是x3-2∈Q[x]的分裂域，求Gal（K/Q）的所有子群以及对应的子域，并证明Gal（K/Q）S3

定义N上的函数以μ（n）为μ（n）称为Mobius函数。证明

设σ1，σ2，…，σn是域K的自同构，且i≠j时，σi≠σj．试证：σ1，σ2，…，σn是线性无关的线性变换组

设A，B均为C上n阶方阵．试证A，B相似的充要条件是rank（aln-A）k=rank（aln-B）k，∀a∈C，k∈N.

设D是p.i、d.，ai=∈D，ai=1，2，…，n，且有（a1，a2，…，an）=1.证明：存在Mn（D）中的可逆矩阵A，使row1A=（a1，a2，…，an）

设F是域，f（x）∈F[x]无重根，又K为f（x）的分裂域，u1，u2，…，un，（n=degf（x））是不定元。记=F（u1，u2，…，un），为f（x）∈[x]的分裂域，证明Gal（/）与Gal（K/F）同构。