对事件A_i（i=1,2,…，n）定义随机变量（i=1,2,…，n)试证：事件 A₁,A₂,…,A_n 相互独立的充要条件是 X₁,X₂,…,X_n相互独立。

设连续型随机变量X的分布函数为
试求：
（1）系数A；
（2）X的密度函数；
（3）。

设连续型随机变量X的密度函数为

试求：
（1）常数a的值；
（2）随机变量X的分布函数；
（3）。

设随机变量X，Y相互独立，且分别服从参数为λ₁和型λ₂的泊松分布.
（1）证明：X+Y服从参数为λ₁+λ₂的泊松分布；
（2）对给定的X+Y，X的条件分布是二项分布

某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为，现购买张彩票，试求：
（1）此人中奖的概率；
（2）至少有张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）。

设二维随机变量（X，Y）在（1，0），（0，1），（－1，0），（0，－1）四点构成的正方形上服从均匀分布
（1）求条件概率密度
（2）计算概率

判断下列函数能否为某随机变量的分布函数。