问答题试证：如果φ（t）是x’=Ax满足初值条件φ（t0）=η的解，那么φ（t）=[expA（t-t0）]η。
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1.问答题假设A是n×n矩阵，试证：对任意整数k，都有（expA）k=exp（kA）。（当k是负整数时，规定（expA）k=[（expA）-1]-k]。
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2.问答题假设A是n×n矩阵，试证：对任意的常数c1，c2都有exp（c1A+c2A）=exp（c1A）·exp（c2A）。
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3.问答题

开口面积为Bcm2的装水容器，当水面高于开口处hcm时单位时间从开口处流出的水量为0.62B，其中g=980cm/s2为重力加速度。现有直径为1m高为4m的圆筒容器，在底部开有直径1cm的孔，如图所示。问水多少时间流完及多少时间流出水量的一半。
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4.问答题一车间体积为10800m3，开始时空气中含有0.12%的CO2（二氧化碳），为了保证工人的健康，用一台风量为1500m3/min的鼓风机鼓入含有0.04%CO2的新鲜空气，假设通入的空气与原有空气混合均匀后以相同的风量排出。问鼓风机开动10min后，车间中含有CO2的百分比降低到多少？
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5.问答题在24℃空气中的某物体10min内从150℃降到100℃，试求物体降温规律及20min后的温度。
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6.问答题

在矩形水池一角Oxy坐标原点处一小孩拉着10m处位于池边y轴上的小船，沿池边x轴行走。问小船移至距想轴6m时小孩和小船在水池中的位置。如图所示。
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7.问答题当降落伞张开时，一伞兵正以v=55ms-1的速度降落，若空气阻力为Wv2/25，其中W为人与降落伞的总重量。试求降落伞张开后伞兵的速度。
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8.问答题解微分方程y’-2xy+y2=5-x2。
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9.问答题解微分方程x2（x-1）y’-y2-x（x-2）y=0。
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10.问答题解微分方程y’+4y+y2=0。
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考虑方程组x’=Ax+f（t），其中试验证是x’=Ax的基解矩阵。

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假设A是n×n矩阵，试证：对任意整数k，都有（expA）k=exp（kA）。（当k是负整数时，规定（expA）k=[（expA）-1]-k]。

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用常数变易法求解微分方程组：

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试用逐步逼近法求方程组满足初值条件的第三次近似解。

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试验证w（t）=c1u（t）+c2v（t）是方程组（*）的满足初值条件w（0）=的解。其中c1，c2是任意常数。

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讨论微分方程组的解当t→+∞时的渐进性态。

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试证上面方程组等价于方程组u’=Au，其中：

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设Φ（t）为方程x’=Ax（A为n×n常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ（0）=E）。证明：Φ（t）Φ-1（t0）=Φ（t-t0），其中t0为某一值。

题型：问答题

给定方程组x’=A（t）x，这里A（t）是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，设Φ（t）为方程组的一个基解矩阵，n为向量函数F（t，x）在a≤t≤b，‖x‖＜+∞上连续，t0∈[a，b]。试证明初值问题的唯一解φ（t）是积分方程组：x（t）=Φ（t）Φ-1（t0）η+∫tt0Φ（t）Φ-1（s）F（s，x（s））ds（**）的连续。反之（**）的连续解也是初值问题（*）的解。

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试将微分方程x”-tx’+x=cost化为一阶微分方程组。

题型：问答题