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求方程x+xy’-y=0的解。
解微分方程:x+y=y2
求方程(提示:令u=x+y,υ=xy)的解。
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一车间体积为10800m3,开始时空气中含有0.12%的CO2(二氧化碳),为了保证工人的健康,用一台风量为1500m3/min的鼓风机鼓入含有0.04%CO2的新鲜空气,假设通入的空气与原有空气混合均匀后以相同的风量排出。问鼓风机开动10min后,车间中含有CO2的百分比降低到多少?
用常数变易法求解微分方程组:
给定方程组x’=A(t)x,这里A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵,设Φ(t)为方程组的一个基解矩阵,n为向量函数F(t,x)在a≤t≤b,‖x‖<+∞上连续,t0∈[a,b]。试证明初值问题的唯一解φ(t)是积分方程组:x(t)=Φ(t)Φ-1(t0)η+∫tt0Φ(t)Φ-1(s)F(s,x(s))ds(**)的连续。反之(**)的连续解也是初值问题(*)的解。
解上面的一阶线性微分方程,证明下面的公式:W(t)=W(t0)e∫tt0[a11(t)+a22(t)+…+ann(t)]dt,t0,t∈[a,b]。
开口面积为Bcm2的装水容器,当水面高于开口处hcm时单位时间从开口处流出的水量为0.62B,其中g=980cm/s2为重力加速度。现有直径为1m高为4m的圆筒容器,在底部开有直径1cm的孔,如图所示。问水多少时间流完及多少时间流出水量的一半。
假设y=φ(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题的解,试证y=φ(x-t)f(t)dt是方程y”+ay’+by=f(x)的解,这里f(x)为已知连续函数。
如果f(t)在0≤t<+∞上有界,则方程的每一个解在0≤t<+∞上有界。
计算矩阵的指数函数eAt。
试将微分方程组x’1-x2=e’,x”2+x1-x’2-x2=sint化为一阶微分方程组。
假设m不是矩阵A的特征值。试证非齐次线性微分方程组x’=Ax+cemt有一解形如x(t)=pemt,其中c,p是常数向量。