如果f（t）在0≤t＜+∞上有界，则方程的每一个解在0≤t＜+∞上有界。

问答题给定方程x”+8x’+7x=f（t），其中f（t）在0≤t＜+∞上连续，试利用常数变易公式，证明：如果f（t）在0≤t＜+∞上有界，则方程的每一个解在0≤t＜+∞上有界。

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1.问答题 试求方程x”+x=sec t的通解。

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2.问答题 考虑方程组x’=Ax+f（t），其中

试验证

是x’=Ax的基解矩阵。

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3.问答题设Φ（t）为方程x’=Ax（A为n×n常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ（0）=E）。证明：Φ（t）Φ^-1（t₀）=Φ（t-t₀），其中t₀为某一值。

参考答案：

4.问答题设A（t）为区间a≤t≤b上的连续n×n实矩阵，Φ（t）为方程x’=A（t）x的基解矩阵，而x=φ（t）为其一解。证：Ψ（t）为方程y’=-A^Ty的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使Ψ^T（t）Φ（t）=C。

参考答案：

5.问答题设A（t）为区间a≤t≤b上的连续n×n实矩阵，Φ（t）为方程x’=A（t）x的基解矩阵，而x=φ（t）为其一解。证：对于方程y’=-A^T（t）y的任一解y=ψ（t）必有ψ^T（t）φ（t）=常数。

参考答案：

6.问答题考虑方程组x’=A（t）x，（*）其中A（t）是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，它的元为aij（t）（i，j=1，2，…，n）。解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：W（t）=W（t₀）e∫^t_t₀[a₁₁（t）+a₂₂（t）+…+a_nn（t）]dt，t₀，t∈[a，b]。

参考答案：

7.问答题考虑方程组x’=A（t）x，（*）其中A（t）是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，它的元为aij（t）（i，j=1，2，…，n）。如果x₁（t），x₂（t），…，x_n（t）是（*）的任意n个解，那么它们的朗斯基行列式W[x₁（t），x₂（t），…，x_n（t）]≡W（t）满足下面的一阶线性微分方程：W’=[a₁₁（t）+a₂₂（t）+…+a_nn（t）]W。

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8.问答题 试验证

是方程组

在任何不包含原点的区间a≤t≤b上的基解矩阵。

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9.问答题 试用逐步逼近法求方程组

满足初值条件

的第三次近似解。

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10.问答题 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：
x”+2x’+7tx=e^-t，x（1）=-2。

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