试将微分方程组x’1-x2=e’，x”2+x1-x’2-x2=sint化为一...

问答题试将微分方程组x’₁-x₂=e’，x”₂+x₁-x’₂-x₂=sint化为一阶微分方程组。

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1.问答题试将微分方程x”-tx’+x=cost化为一阶微分方程组。

2.问答题 给定方程组x’=A（t）x，这里A（t）是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，设Φ（t）为方程组的一个基解矩阵，n为向量函数F（t，x）在a≤t≤b，‖x‖＜+∞上连续，t₀∈[a，b]。试证明初值问题

的唯一解φ（t）是积分方程组：
x（t）=Φ（t）Φ^-1（t₀）η+∫^t_t0Φ（t）Φ^-1（s）F（s，x（s））ds（**）的连续。反之（**）的连续解也是初值问题（*）的解。

参考答案：

3.问答题给定方程x”+8x’+7x=f（t），其中f（t）在0≤t＜+∞上连续，试利用常数变易公式，证明：如果当t→+∞时f（t）→0，则方程的每一个解φ（t）满足φ（t）→0（当t→+∞时）。

参考答案：

4.问答题给定方程x”+8x’+7x=f（t），其中f（t）在0≤t＜+∞上连续，试利用常数变易公式，证明：如果f（t）在0≤t＜+∞上有界，则方程的每一个解在0≤t＜+∞上有界。

参考答案：

5.问答题 试求方程x”+x=sec t的通解。

参考答案：

6.问答题 考虑方程组x’=Ax+f（t），其中

试验证

是x’=Ax的基解矩阵。

参考答案：

7.问答题设Φ（t）为方程x’=Ax（A为n×n常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ（0）=E）。证明：Φ（t）Φ^-1（t₀）=Φ（t-t₀），其中t₀为某一值。

参考答案：

8.问答题设A（t）为区间a≤t≤b上的连续n×n实矩阵，Φ（t）为方程x’=A（t）x的基解矩阵，而x=φ（t）为其一解。证：Ψ（t）为方程y’=-A^Ty的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使Ψ^T（t）Φ（t）=C。

参考答案：

9.问答题设A（t）为区间a≤t≤b上的连续n×n实矩阵，Φ（t）为方程x’=A（t）x的基解矩阵，而x=φ（t）为其一解。证：对于方程y’=-A^T（t）y的任一解y=ψ（t）必有ψ^T（t）φ（t）=常数。

参考答案：

10.问答题考虑方程组x’=A（t）x，（*）其中A（t）是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，它的元为aij（t）（i，j=1，2，…，n）。解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：W（t）=W（t₀）e∫^t_t₀[a₁₁（t）+a₂₂（t）+…+a_nn（t）]dt，t₀，t∈[a，b]。

参考答案：