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问答题设A（t）为区间a≤t≤b上的连续n×n实矩阵，Φ（t）为方程x’=A（t）x的基解矩阵，而x=φ（t）为其一解。证：Ψ（t）为方程y’=-A^Ty的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使Ψ^T（t）Φ（t）=C。

参考答案：

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1.问答题设A（t）为区间a≤t≤b上的连续n×n实矩阵，Φ（t）为方程x’=A（t）x的基解矩阵，而x=φ（t）为其一解。证：对于方程y’=-A^T（t）y的任一解y=ψ（t）必有ψ^T（t）φ（t）=常数。

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2.问答题考虑方程组x’=A（t）x，（*）其中A（t）是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，它的元为aij（t）（i，j=1，2，…，n）。解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：W（t）=W（t₀）e∫^t_t₀[a₁₁（t）+a₂₂（t）+…+a_nn（t）]dt，t₀，t∈[a，b]。

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3.问答题考虑方程组x’=A（t）x，（*）其中A（t）是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，它的元为aij（t）（i，j=1，2，…，n）。如果x₁（t），x₂（t），…，x_n（t）是（*）的任意n个解，那么它们的朗斯基行列式W[x₁（t），x₂（t），…，x_n（t）]≡W（t）满足下面的一阶线性微分方程：W’=[a₁₁（t）+a₂₂（t）+…+a_nn（t）]W。

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4.问答题 试验证

是方程组

在任何不包含原点的区间a≤t≤b上的基解矩阵。

参考答案：

5.问答题 试用逐步逼近法求方程组

满足初值条件

的第三次近似解。

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6.问答题 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：
x”+2x’+7tx=e^-t，x（1）=-2。

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7.问答题 试验证w（t）=c₁u（t）+c₂v（t）是方程组（*）的满足初值条件w（0）=的解。其中c₁，c₂是任意常数。

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8.问答题 给定方程组：试验证分别是方程组（*）的满足初值条件的解。

参考答案：

9.问答题 假设y=φ（x）是二阶常系数线性微分方程初值问题

的解，试证y=φ（x-t）f（t）dt是方程y”+ay’+by=f（x）的解，这里f（x）为已知连续函数。

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10.问答题 给定方程组：

试求原方程组满足初值条件x₁（0）=0，x’₁（0）=1，x₂（0）=0的解。

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