假设m不是矩阵A的特征值。试证非齐次线性微分方程组x’=Ax+cemt有一解形如x（t）=pemt，其中c，p是常数向量。

将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：x”+2x’+7tx=e-t，x（1）=-2。

设Φ（t）为方程x’=Ax（A为n×n常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ（0）=E）。证明：Φ（t）Φ-1（t0）=Φ（t-t0），其中t0为某一值。

假设A是n×n矩阵，试证：对任意整数k，都有（expA）k=exp（kA）。（当k是负整数时，规定（expA）k=[（expA）-1]-k]。

开口面积为Bcm2的装水容器，当水面高于开口处hcm时单位时间从开口处流出的水量为0.62B，其中g=980cm/s2为重力加速度。现有直径为1m高为4m的圆筒容器，在底部开有直径1cm的孔，如图所示。问水多少时间流完及多少时间流出水量的一半。

解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：W（t）=W（t0）e∫tt0[a11（t）+a22（t）+…+ann（t）]dt，t0，t∈[a，b]。

如果当t→+∞时f（t）→0，则方程的每一个解φ（t）满足φ（t）→0（当t→+∞时）。

给定方程组：试验证分别是方程组（*）的满足初值条件的解。

试用逐步逼近法求方程组满足初值条件的第三次近似解。

计算矩阵的指数函数eAt。