两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti（i=1，2）服从参数为5的指...

问答题两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间T_i（i=1，2）服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启。试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T₁+T₂的概率密度f_T（t），数学期望E（T）及方差D（T）。

1.问答题设随机变量X的概率密度为对X独立地重复观察π3/4次，用Y表示观察值大于的次数，求Y²的数学期望？

2.问答题 假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ，1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

3.问答题 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：
（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；
（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率？

4.问答题对于两个随机变量V，W，若E（V²），E（W²）存在，证明：［E（VW）］²≤E（V²）E（W²）这一不等式称为柯西许瓦兹不等式。

5.问答题 已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为试求Z₁=X−2Y和Z₂=2X−Y的相关系数。

6.问答题 设（X，Y）的概率密度为求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρ_XY。

7.问答题 设随机变量（X，Y）的分布律为：

验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。

8.问答题 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。

9.问答题对随机变量X和Y，已知D=（2X），D=（3Y），Cov（X，Y）=-1，计算：Cov（3X−2Y+1，X+4Y−3）？

10.问答题 设X₁，X₂，X_n是相互独立的随机变量，且有E=（X_i），μ，D=（X_i），σ²，i=1，n²，记：