求下矩阵的特征值和特征向量

问答题 求下矩阵的特征值和特征向量

1.问答题 对于R²的内积（α，β）=α^TAβ，其中α=（a₁，a₂）^T，β=（b₁，b₂）^T∈R²，。利用施密特正交化方法求与R²的基α₁=（1，2）^T，α₂=（-1，1）^T等价的一组标准正交基。

2.问答题 在R[x]₄中定义内积（f，g）=，其中f（x），g（x）∈R[x]₄。利用施密特正交化方法与R[x]₄的基1，x，x²，x³等价的一组标准正交基

3.问答题设V₁，V是Rⁿ的两个非平凡子空间，证明：在Rⁿ中存在向量α，使αúV₁且αúV₂，并在R³中举例说明此结论。

4.问答题 求齐次线性方程组

的解空间（作为R⁵的子空间）的一组标准正交基（内积按通常定义）。

5.问答题设ε₁，ε₂，ε₃，ε₄，ε₅是5维欧氏空间的一组标准正交基，设V₁=L（α₁，α₂，α₃），其中：α₁=ε₁+ε₅，α₂=ε₁-ε₂+ε₄，α₃=2ε₁+ε₂+ε₃，求V₁的一组标准正交基。

6.问答题设A为n阶实矩阵，问：下列命题是否正确？并说明理由.若dimR（A）=mT）

7.问答题设A为n阶实矩阵，问：下列命题是否正确？并说明理由.若dimR（A）=n，则R（A）=R（A^T）

8.问答题设A是m×n矩阵，B是s×n矩阵，两个齐次线性方程组Ax=0，Bx=0的解空间的交是什么意义？

9.问答题 设ε₁，ε₂，ε₃是三维欧氏空间V的一组标准正交基。证明：

也是V的一组标准正交基。

10.问答题 设H=A+iB是一个正定Hermite矩阵，其中A，B∈R^n*n。证明：矩阵是正定对称的。试给出一种仅用实数运算的算法来求解线性方程组（A+iB）（x+iy）=（b+ic），x，y，b，c∈Rⁿ.