举例说明一致有界性定理中空间X完备的条件不能去掉

问答题举例说明一致有界性定理中空间X完备的条件不能去掉

1.问答题设T为ι^P（p≥1）中单向移位算子，即若x=（ξ₁，ξ₂，...，ξ_n，...）∈ι^P，则Tx=y={0，ξ₁，ξ₂，...，ξ_n，...}，求T^x

2.问答题 设α₀，α₁，...，α_n，...是一列数，证明存在[a,b]上有界变差函数g(t)，使=α_n,n=0,1,2,...成立的充要条件为对一切多项式

成立，则

其中M为常数

3.问答题证明：Banach空间X自反的充要条件是X’自反

4.问答题证明：无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的

5.问答题 设X是赋范线性空间，x₁，x₂，...x_k是X中k个线性无关向量，α₁，α₂，...，α_k是一组数，证明：在X上存在满足以下条件：
（1）f（x_υ）=α_υ，υ=1，2，...，k；
（2）||f||≤M。
线性边疆泛函f的充要条件为：对任何数t₁,t₂,...,t_k

6.问答题设X是自反空间，则X是可分空间当且仅当X’是可分的。

7.问答题 设Ω是平面上有界L可测，L²(Ω)表示Ω上关于L测度平方可积函数全体，对每个f∈L²（Ω），定义
(Tf)(z)=zf(z),z∈Ω
证明T是正常算子

8.问答题设U是Hilbert空间L²[0，2π]中如下定义的算子。（Uf）（t）=e^igf（t），f∈L²[0，2π]证明U是西算子。

9.问答题证明：A是实内积空间X上自伴算子时，A=0的充要条件为对所有x∈H，成立=0

10.问答题设T为Hilbert空间X上正常算子，T=A+iB为T的笛卡尔分解，证明：||T²||=||T||²