令Z[√2]={a+b√2|a，b∈Z}，证明：Z[√2]关于实数的加法和乘...

问答题令Z[√2]={a+b√2|a，b∈Z}，证明：Z[√2]关于实数的加法和乘法构成一个环。

1.问答题设域F的特征是p。试证x^p-x-a∈F[x]或者不可约，或者为一次因式的乘积。又设K为x^p-x-a的分裂域，求Gal（K/F）

2.问答题 设D为Euclid环，A∈Mn（D），detA≠0，证明存在Mn（D）中可逆矩阵P使得
其中di≠0，且δ（ent_ij（PA））＜δ（di），j＜i

3.问答题域C上n阶方阵相似于对角阵的充要条件是A的极小多项式无重根．

4.问答题设σ1，σ2，…，σn是域K的自同构，且i≠j时，σi≠σj．试证：σ1，σ2，…，σn是线性无关的线性变换组

5.问答题 设F是域，ChF≠2.又x1，x2，…，xn是不定元，p1，p2，…，pn为x1，x2，…，xn的初等对称多项式，记Gal（F（x1，x2，…，xn）/F（p1，p2，…，pn）为Sn.证明InvAn=F（p1，p2，…，pn，Δ）.其中Δ=

6.问答题设D是p.i、d.，ai=∈D，ai=1，2，…，n，且有（a1，a2，…，an）=1.证明：存在Mn（D）中的可逆矩阵A，使row1A=（a1，a2，…，an）

7.问答题设（m，n）=1.证明x^mn-1∈Q[x]的分裂域与（x^m-1）（xⁿ一1）∈Q[X]的分裂域相同。

8.问答题 设K是x³-2∈Q[x]的分裂域，求Gal（K/Q）的所有子群以及对应的子域，并证明Gal（K/Q）S₃

9.问答题 用行列式因子确定矩阵的不变因子

10.问答题 设n=p1^m1p2^m2…ps^ms为互不相等的素数，mi∈N.以γ（n）表示互不同构的n阶Abel群的同构类数．证明：