设n为正整数，f（x）∈Q[x]，a（f（x））=n，证明：有不全为零的有理数α0，α2，…，αn，使得。

证明：对P[x]中任何m次多项式f（x），必有P[x]中次数≤m+1的多项式G（x）满足G（n）=f（0）+f（1）+…+f（n-1）对任何n≥1的整数成立。

设f（x）及G（x）是P[x]中m次及≤m+1次多项式，证明：G（n）=对所以n≥1成立的充分必要条件是G（x+1）-G（x）=f（x）且G（0）=0。

设α1，α2，…，αn为n个彼此不等的实数，f1（x），…，fn（x）是n个次数不大于n-2的实系数多项式，证明：。

设Α的最高次的不变因子是d（λ），则Α的最小多项式是d（λ）.

设f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e为正系数4次多项式，令r1，r2，r3，r4是它的根，已知r1+r2为有理数，r1+r2≠r3+r4，证明：f（x）可表成两个次数较低的整系数多项式的乘积。

设A，B是n维线性空间V的两个线性变换.证明：AB的秩≥A的秩+B的秩-n.

设P[x]中多项式p1（x），p2（x），…，ps（x）（s≥2）的次数分别为n1，n2，…，ns，证明：若，则p1（x），p2（x），…，ps（x）在线性空间P[x]中线性相关。

若Α在V的某基下矩阵A是某多项式d（λ）的友矩阵，则Α的最小多项式是d（λ）.

设S是非零的反称实矩阵，证明：设A是正定矩阵，则丨A+S丨＞丨A丨。