设（m，n）=1.证明G（xmn-1，Q）同构于G（xm-1，Q）与G（xn-1，Q）的直积。

设K=Q（√2，√3，√5）．求Gal（K/Q）的所有子群以及对应的子域。

设σ1，σ2，…，σn是域K的自同构，且i≠j时，σi≠σj．试证：σ1，σ2，…，σn是线性无关的线性变换组

设K是x3-2∈Q[x]的分裂域，求Gal（K/Q）的所有子群以及对应的子域，并证明Gal（K/Q）S3

设是x3+x2-2x-1∈Q[x]的一个根，证明：r2-1也是一个根；Q（r）是Q上的正规扩张，并求Gal（Q（r）/Q）.

举出两个包含p2+p+1个p阶子群的Abel群的例子

设Abel群G的扭系数为p2，p8，问G中包含多少个p2阶子群？

设D为Euclid环，A∈Mn（D），detA≠0，证明存在Mn（D）中可逆矩阵P使得其中di≠0，且δ（entij（PA））＜δ（di），j＜i

设域F的特征是p。试证xp-x-a∈F[x]或者不可约，或者为一次因式的乘积。又设K为xp-x-a的分裂域，求Gal（K/F）

设n=p1m1p2m2…psms为互不相等的素数，mi∈N.以γ（n）表示互不同构的n阶Abel群的同构类数．证明：