∪T∈T=A当且仅当满足自反律。

问答题

设A是个集合，设⊆p（A）。定义A的关系为：对a，b∈A，如果存在T∈使得a，b∈T则记证明：

∪_T∈T=A当且仅当满足自反律。

参考答案：

1.问答题 设A是个集合，设⊆p（A）。定义A的关系为：对a，b∈A，如果存在T∈使得a，b∈T则记证明：
关系满足对称律。

2.问答题设I是环R的一个左理想，令0：I={a∈R|a*I=0}，证明：0：I是R的一个左理想。

3.问答题 设R是一个环，I是R的一个理想；证明：
若L是R/L的一个理想，则存在R的理想J，使J⊇I且L=J/I。

4.问答题 设R是一个环，I是R的一个理想；证明：
若J是R的一个理想且J⊇I，则J/I是R/I的理想。

5.问答题 设A是集合，ζ⊆p（A）。证明以下两条等价：
（i）ζ是A的划分；
（ii）0ζ且任a∈A存在唯一T∈ζ使得a∈T。

6.问答题设（a）和（b）是整数环的两个理想，证明：（a）∩（b）=（[a，b]），（a）+（b）=（（a，b））。（注：这里约定，当a=b=0时，（a，b）=0）

7.问答题在剩余类环Z_n中，记满足（a，n）=1的剩余类[a]的个数为φ（n），证明：若（a，n）=1，则a^φ（n）≡1（modn）（费马定理）

8.问答题 设A是个集合，设~⊆A×A是A的个关系，对任a∈A定义A的子集S_a={b∈A|b~a}；令δ={S_a|a∈A}。证明：
（1）对a∈A，a∈S_a当且仅当关系~满足自反律。
（2）如果关系~既满足对称律也满足传递律，则δ的不同成员彼此不交。

9.问答题 在剩余类环Z_n中，记满足（a，n）=1的剩余类[a]的个数为φ（n），证明：
令R={[a]∈Z_n|（a，n）=1}，则R关于剩余类的乘法构成一个群。

10.问答题设（R，+，.）是一个有单元1的环，对于任意的a，b∈R，令a⊕b=a+b-1，a☉b=a+b-a*b。证明：⊕和☉是R上的两个代数运算且关于加法⊕和乘法☉也构成一个有单位元的环。