在R4中求一单位向量，与（1，1，-1，1）T，（1，-1，-1，1）T，（...

问答题在R⁴中求一单位向量，与（1，1，-1，1）^T，（1，-1，-1，1）^T，（2，1，1，3）^T都正交（内积按通常定义）。

1.问答题 证明：对任意的一个内积。

2.问答题 证明：在R²中，对于α=（a₁，a₂）^T，β=（b₁，b₂）^T∈R²，（α，β）=α^TAβ为R²的一个内积，其中

3.问答题 设用平方根法证明A是正定的，并给出方程组Ax=b的解。

4.问答题利用改进的平方根法设计一种计算正定对称矩阵的逆的算法。

5.问答题证明：若A∈R^n*n是对称的，而且其前n-1个顺序主子阵均非奇异，则A有唯一的分解式：A=LDL^T，其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵。

6.问答题 设R³的线性变换σ，对于基

求σ在基α₁，α₂，α₃下的矩阵。

7.问答题若A=LL^T是A的Cholesky分解，试证L的i阶顺序主子阵L_i正好是A的i阶顺序主子阵A_i的Cholesky因子。

8.问答题 设R³的线性变换σ，对于基

求σ在基ε₁=（1，0，0）^T，ε₂=（0，1，0）^T，ε₃=（0，0，1）^T下的矩阵。

9.问答题设α₁=（1，2）^T，α₂=（0，1）^T为R²的一组基。且β₁=（2，3）^T，β₂=（1，4）^T，证明：在R²中存在唯一的线性变换σ，使σ（α_i）=β_i（i=1，2）。并且对于α=（3，4）^T求σ（α）。

10.问答题证明：如果A是一个带宽为2m+1的对称正定带状矩阵，则其Chelesky因子L也是带状矩阵。L的带宽为多少？