①已知系统，试求其状态空间最小实现。
②设系统的状态方程及输出方程为试判定系统的能控性。

考虑线性定常系统和性能指标如下：

其中实数r>0为性能指标可调参数。试回答
（1）当参数r固定时，求使得性能指标J最小化的最优状态反馈控制器。
（2）当参数r增大时，分析闭环系统性能的变化。

双足直立机器人可以近似为一个倒立摆装置，如图所示。假设倒立摆系统的一个平衡点线性化状态空间模型如下：

其中，状态变量，y是小车的位移，θ是摆杆的偏移角，u是作用在小车上的动力。试回答

（1）双足直立机器人在行走过程中被人推了一把而偏离垂直面，那么根据倒立摆原理，请问双足直立机器人在该扰动推力消失后还能回到垂直面位置吗？
（2）如果不能，那么请你从控制学的角度，给出两种能够使双足直立机器人在扰动推力消失后回到垂直面位置的方法。
（3）请结合倒立摆模型，简单叙述双足直立机器人能控性的含义。
（4）在状态反馈控制器设计中，需要用到系统的所有状态信息，但根据倒立摆原理，可测量的状态信息只有水平移动的位移y，那么你有什么方法可以实现这个状态反馈控制器的设计？你所用方法的条件是什么？依据是什么？请结合倒立摆模型，给出你使用方法的实现过程。

实际被控系统通常是连续时间系统，但计算机控制却是一种基于离散模型的控制，因此一种方法是对连续时间系统做离散化。那么请问
（1）一个能控能观的连续时间系统，其离散化后的状态空间模型是否仍然保持能控能观性？
（2）以如下线性定常系统为例：说明你的理由以支持你的观点。

（3）令采样周期T=π/2，初始状态为，求u（k），使得（2）中离散化状态空间模型在第2个采样时刻转移到原点。

系统的状态转移矩阵不仅包含了对应自治系统的全部信息，而且在线性控制系统的分析、设计中具有重要的作用。已知系统的状态转移矩阵如下：

（1）试给出对应自治系统的全部信息；
（2）试列举状态转移矩阵的基本性质，并简述其意义。

建立一个合理的系统模型是进行系统分析和设计的基础。已知一单输入单输出线性定常系统的微分方程为：

（1）采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图；
（2）归纳总结上述的实现过程，试简述由一个系统的n阶微分方程建立系统状态空间模型的思路。