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问答题 证明：空间C[a,b]中点列{x_n}弱收敛于x₀的充要条件是存在常数M，使得||x_n||≤M,n=1,2,...,并且对任何t∈[a,b]，成立=x₀(t)

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1.问答题设X是可分Banach空间，M是X’中有界集，证明M中每个点列含有一弱*收敛子列。

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2.问答题 设T_n∈（X，Y）（n=1，2，...），其中X是Banach空间，Y是赋范线性空间，若对每个x∈X，{T_nx}都收敛，令Tx=，证明T是X到Y中有界线性算子，并且||T||＜

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3.问答题 证明格尔丰德引理：设X是Banach空间，p（x）是X上泛函，满足条件：
1.p（x）≥0
2.a≥0时，p（ax）=ap（x）
3.p（x₁+x₂）≦p（ax）=ap（x）
4.当x∈X，x_nx→x时，≥p（x），证明必有M>0，使对一切x∈X，成立p（x）≦M||x||

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4.问答题 设f(t)是[a,b]上的L可测函数，p≥1，若对一切g∈L^p[a,b],函数f(t)g(t)都在[a,b]上L可积，则f∈L^q[a,b],其中

参考答案：

5.问答题 设y={η₁，η₂，...η_n，...}是一列复数，若对任何
x={ξ₁，ξ₂，...ξ_n，...}∈C₀
级数都收敛，证明：y∈ι¹

参考答案：

6.问答题 证明：在完备度量空间X中存立闭球套定理，即若
S_υ={x|d(x,x_υ)≤ε_υ}，υ=1,2，...，
且S₁S₂...S_n...,ε_υ→0(υ→∞),则存在唯一的x∈;反之，若在度量空间X中存立闭球套定理，则X是完备度量空间

参考答案：

7.问答题举例说明一致有界性定理中空间X完备的条件不能去掉

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8.问答题设T为ι^P（p≥1）中单向移位算子，即若x=（ξ₁，ξ₂，...，ξ_n，...）∈ι^P，则Tx=y={0，ξ₁，ξ₂，...，ξ_n，...}，求T^x

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9.问答题 设α₀，α₁，...，α_n，...是一列数，证明存在[a,b]上有界变差函数g(t)，使=α_n,n=0,1,2,...成立的充要条件为对一切多项式

成立，则

其中M为常数

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10.问答题证明：Banach空间X自反的充要条件是X’自反

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