设X=C[O，2π]，（Ax）（t）=eitx（t），x∈X...

问答题 设X=C[O，2π]，（Ax）（t）=e^itx（t），x∈X，证明
σ（A）={λ||λ|=1}

1.问答题设X=C[0，1]，（Ax）（t）=tx（t），x∈X。证明σ（Λ）=[O，1]，且其中没有特征值。

2.问答题 设T为定义在复Hibert空间X上的有界线性算子，若存在常数α＞0，使＜Tx,x＞＜tx,x＞≥α₀＜/tx，x＞＜x，x＞，则称T为正定的。证明：正定算子T必有有界逆算子T^-1，并且＜tx，x＞＜x，x＞‖T^-1‖≤＜/x，x＞＜/tx，x＞

3.问答题 设A及B是定义在llibert空X上的两个线性算子,满足
＜Ax，y＞=＜x，By＞＜x，by＞
其中x，y为X中任意向量，证明A是有界算子。

4.问答题用团图像定理证逆算子定理。

5.问答题 设T是Banach空间X到賦范线性空间F中的线性算子，令
M_n={x|‖Tx‖≤n‖x‖}，n=1，2，...，
证明：总有M_n0在X中稠密。

6.问答题 设X是线性空问，||x||₁和||X||₂是X上两个范数，若X按||x||₁及||x||₂都完备，并且由点列{x_n}按||x||₁收敛于0，必有按||x||₂也收敛于0，证明存在证书a和b,使
a||x||₁≤||x||₂≤b||x||₁

7.问答题 证明：ι^p中点列x_n={ξ₁^（n）,ξ₂^（n）,...},n=1，2,...，弱收敛于x={ξ₁,ξ₂,...}∈ι^p的充要条件为＜∞，且对每个k,=ξ_k

8.问答题设X是賦范线性空间，M为X的闭子空间，若M中有点列{x_n}弱收敛于x∈X₀，那么必有x₀∈M

9.问答题 证明：空间C[a,b]中点列{x_n}弱收敛于x₀的充要条件是存在常数M，使得||x_n||≤M,n=1,2,...,并且对任何t∈[a,b]，成立=x₀(t)

10.问答题设X是可分Banach空间，M是X’中有界集，证明M中每个点列含有一弱*收敛子列。