已知，，（1）求tan2α的值：（2）求β。

已知向量a，b，满足a=b=1，且，其中k>0。（1）试用k表示a·b，并求出a·b的最大值及此时a与b的夹角θ的值；（2）当a·b取得最大值时，求实数λ，使a+λb的值最小，并对这一结论作出几何解释。

在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为（）海里。

案例：下面是一位老师在讲"简单几何体的三视图"的教学片断，请阅读后回答问题：创设问题情境，从学生熟悉的古诗入手，引出课题。多媒体显示：题西林壁--苏轼横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。师：大家看大屏幕，一起朗读这首诗。师：哪位同学能说说苏东坡是怎样观察庐山的吗？都有什么感觉？生：横看，侧看，远看，近看，高看，低看。都得到不同的效果。师：回答得非常好。可能有些同学会纳闷，今天老师上数学课怎么会念起古诗来？其实，这首诗隐含着一些数学知识。它教会了我们怎样观察物体，这也是我们这节课将要学习的内容--简单组合体的三视图（写板书）。问题：（1）该教师的课堂引入有什么特色，对教学有什么好处？（2）简单谈谈数学教学过程中怎样调动学生的学习热情激发学习兴趣。

案例：某教师在对基本初等函数进行教学时，给学生出了如下一道练习题：问题：（1）指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因；（2）给出你的正确解答；（3）指出你在解题时运用的数学思想方法。

一圆与y轴相切，圆心在x-3y=0上，在y=x上截得的弦长为，求圆的方程。

在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证∠AFC=∠ACB+∠DAC。（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC，∠ACB，∠DAC的关系，并结合图2给出证明。（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC，∠ACB，∠DAC的关系式。

请简要描述数学应用意识及推理能力的主要表现。

已知a=1，b=2。（1）若a∥b，求a·b；（2）若a、b的夹角为60°，求a+b；（3）若a-b与a垂直，求当k为何值时，（ka-b）⊥（a+2b）。

为什么在数学教学中要贯彻理论与实际相结合的原则？