不是域的环可以有子域。

问答题如果环R的子环S是域就称S是R的子域。举例说明：不是域的环可以有子域。

1.问答题 如果环R的元素a满足，只要ab=ac就有b=c就说a是可以左消去元，如果从ab=ac及a≠0恒可得出b=c，就说环R满足左消去律，类似地定义右消去律，如果R满足左右消去律，就说环R满足消去律。
证明：
域是整环。

2.问答题 如果环R的元素a满足，只要ab=ac就有b=c就说a是可以左消去元，如果从ab=ac及a≠0恒可得出b=c，就说环R满足左消去律，类似地定义右消去律，如果R满足左右消去律，就说环R满足消去律。
证明：
环R为整环当且仅当R交换且满足消去律。

3.问答题 如果环R的元素a满足，只要ab=ac就有b=c就说a是可以左消去元，如果从ab=ac及a≠0恒可得出b=c，就说环R满足左消去律，类似地定义右消去律，如果R满足左右消去律，就说环R满足消去律。
证明：
如果元素a是可逆元则a是可以左消去元，反过来不成立。

4.问答题 如果环R的元素a满足，只要ab=ac就有b=c就说a是可以左消去元，如果从ab=ac及a≠0恒可得出b=c，就说环R满足左消去律，类似地定义右消去律，如果R满足左右消去律，就说环R满足消去律。
证明：
非零元a是可以左消去元当且仅当a不是左零因子。

5.问答题设G是群，G1，G2是G的有限子群，假设（|G1|，|G2|）=1，证明：|G1G2|=|G1||G2|

6.问答题举例说明当R不是交换幺环时，Ra={ra|r∈R}不一定成立。

7.问答题设R是交换幺环，a∈R，则a生成的理想是Ra={ra|r∈R}。

8.问答题 设I_j，j=1，2…，都是环R的理想，且I₁⊆I₂⊆…。证明是R的理想。

9.问答题证明：阶小于或等于5的群都是交换群

10.问答题设I₁，I₂是环R的理想，证明：并集I₁∪I₂是R的理想的充要条件是：I₁⊆I₂或者I₂⊆I₁。