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问答题设G是群，a∈G。设H≤G，证明：如果a∈H则（a）⊆H。（即：（a）是群G中包括a的最小子群）。

参考答案：

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1.问答题设S是一个非空集合，“·”是S上的一个代数运算，若“·”适合结合律，则称（S，·）是一个半群（或者称S关于“·”构成一个半群），证明：整数集Z关于乘法构成一个半群，但不构成一个群。

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2.问答题 利用同态基本定理证明：SL_n（C）GL_n（C）而且商群GL_n（C）/SL_n（C）≌C^x。

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4.问答题证明：ε：R→C^x，r→exp（2πir），是群同态，这里R是实数加群而C^x是非零复数乘群。Ker（ε）=Z。

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5.问答题证明：ε：R→C^x，r→exp（2πir），是群同态，这里R是实数加群而C^x是非零复数乘群。Im（ε）是复平面上的单位圆。

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6.问答题设f是任意一个置换，证明：f·（i1i2...i_k）·f^-1=（f（i1）f（i2）...f（i_k））。

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7.问答题设G是群，把G的元素a对应为G的双射变换λ_a，得到映射λ：G→Sym（G）。a→λ_a。证明：λ是从群G到群Sym（G）的同态。

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8.问答题 在S₅中，令f=，g=。求fg，gf和f^-1。

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9.问答题设G是群，对任给定的a∈G，证明：映射λ_a：G→G，x→ax。是集合G的双射变换，即λ_a∈Sym（G）。

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