设整系数多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a0，它没有理根，又有素数p满足：证明：f（x）在Q[x]中不可约。

A，B皆为n×n复矩阵，证明：方程AX=XB有非零解的充分必要条件是A，B有公共特征值。

设f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e为正系数4次多项式，令r1，r2，r3，r4是它的根，已知r1+r2为有理数，r1+r2≠r3+r4，证明：f（x）可表成两个次数较低的整系数多项式的乘积。

设A是n级可逆矩阵，求二次型的矩阵。

证明：设A，B皆为n×n实对称矩阵，且A为正定矩阵，则有实可逆矩阵C使C’AC及C’BC同时为对角矩阵。

设f（x），g（x）是数域P上两个不全为零的多项式，令S={u（x）f（x）+v（x）g（x）丨u（x），v（x）∈P[x]}.证明：存在m（x）∈S，使S={h（x）m（x）丨h（x）∈P[x]}。

证明：A是幂零矩阵的充要条件是A的所有特征值全为零。

求12+22+…+n2及13+23+…+n3。

设f（x）及G（x）是P[x]中m次及≤m+1次多项式，证明：G（n）=对所以n≥1成立的充分必要条件是G（x+1）-G（x）=f（x）且G（0）=0。

设S是非零的反称实矩阵，证明：设A是正定矩阵，则丨A+S丨＞丨A丨。