令S是Pn×n中所有形如XY-YX的矩阵生成的线性子空间，又设H为Pn×n中迹为零的矩阵组成的空间，求证S=H，因而唯（S）=唯（H）=n2-1。

证明：对P[x]中任何m次多项式f（x），必有P[x]中次数≤m+1的多项式G（x）满足G（n）=f（0）+f（1）+…+f（n-1）对任何n≥1的整数成立。

P是一个数域，N是P[x]中的一个子集，满足f（x），g（x）∈N，则f（x）+g（x）∈N；对f（x）∈N及任何q（x）f（x）∈N，证明：N中有d（x），满足N={d（x）q（x）丨q（x）∈P[x]}。

设α1，α2，…，αn为n个彼此不等的实数，f1（x），…，fn（x）是n个次数不大于n-2的实系数多项式，证明：。

设Α的最高次的不变因子是d（λ），则Α的最小多项式是d（λ）.

证明每一个有限群都含有一个子群与某一Zn同构.

设P[x]中多项式p1（x），p2（x），…，ps（x）（s≥2）的次数分别为n1，n2，…，ns，证明：若，则p1（x），p2（x），…，ps（x）在线性空间P[x]中线性相关。

A，B皆为n×n复矩阵，证明：方程AX=XB有非零解的充分必要条件是A，B有公共特征值。

证明：A是幂零矩阵的充要条件是Tr（Ak）=0，k=1，2，…，其中Tr（A）是A的迹，即A的对角线元素的和。

设f（x），g（x），h（x）∈P[x]，且次数皆大于等于1，证明：f（g（x））=h（g（x））的充分必要条件为f（x）=h（x）。