令S是Pn×n中所有形如XY-YX的矩阵生成的线性子空间，又设H为Pn×n中迹为零的矩阵组成的空间，求证S=H，因而唯（S）=唯（H）=n2-1。

设A是有限维线性空间V的线性变换，W是V的子空间，AW是表示由W中向量的像组成的子空间.证明：维（AW）+维（A-1（0）∩W）=维（W）.

设整系数多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a0，它没有理根，又有素数p满足：证明：f（x）在Q[x]中不可约。

证明：A是幂零矩阵的充要条件是A的所有特征值全为零。

在Pn×n中，证明：若A=BC，B=AD，则有可逆矩阵Q使B=AQ。

设f（x），g（x）是数域P上两个不全为零的多项式，令S={u（x）f（x）+v（x）g（x）丨u（x），v（x）∈P[x]}.证明：存在m（x）∈S，使S={h（x）m（x）丨h（x）∈P[x]}。

A与B有相同的核的充分必要条件是AB=A，BA=B.

设f（x）及G（x）是P[x]中m次及≤m+1次多项式，证明：G（n）=对所以n≥1成立的充分必要条件是G（x+1）-G（x）=f（x）且G（0）=0。

A，B皆为n×n复矩阵，证明：方程AX=XB有非零解的充分必要条件是A，B有公共特征值。

证明：设A，B皆为n×n实对称矩阵，且A为正定矩阵，则有实可逆矩阵C使C’AC及C’BC同时为对角矩阵。