数学高等数学章节练习(2020.04.09)

计算对面积的曲面积分：，其中Σ为平面在第一象限中的部分。

设T=2π，求证l+g=0。

设D是由y=x，x=y²所围闭区域，求二重积分。

设质点在平面力场F=xy²i+x²yj的作用下从原点O沿光滑曲线L移动到椭圆 =1上位于第一象限内的点M（x₀，y₀）处。试将F所作的功W表达为曲线积分，并证明W与路径无关，当x₀，y₀分别取何值时，F所作的功最大？求出此最大值。

作函数y=

的图形。

求以下函数的微分dy：
y=2^sinx

油在半径为R的输油管中流动，各点的流速为，其中v₀为圆心处的流速，r为点到圆心的距离．求通过油管横截面的油的流量（即单位时间内通过截面的流量）.

如果三重积分 的被积函数f（x，y，z）是三个函数f₁（x），f₂（y），f₃（z），的乘积，即f（x，y，z）=f₁（x）·f₂（y）·f₃（z），积分区域Ω={（x,y,z）〡a≤x≤b,c≤y≤d,l≤z≤m},证明这个三重积分等于三个单积分的乘积，即