问答题
求方程式的通解
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证:Ψ(t)为方程y’=-ATy的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C,使ΨT(t)Φ(t)=C。
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用常数变易法求解微分方程组:
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试计算矩阵的特征值及对应的特征向量:
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讨论微分方程组的解当t→+∞时的渐进性态。
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试求方程组x’=Ax的一个基解矩阵,并计算exp(At),其中A为:
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证:对于方程y’=-AT(t)y的任一解y=ψ(t)必有ψT(t)φ(t)=常数。
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如果当t→+∞时f(t)→0,则方程的每一个解φ(t)满足φ(t)→0(当t→+∞时)。
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开口面积为Bcm2的装水容器,当水面高于开口处hcm时单位时间从开口处流出的水量为0.62B,其中g=980cm/s2为重力加速度。现有直径为1m高为4m的圆筒容器,在底部开有直径1cm的孔,如图所示。问水多少时间流完及多少时间流出水量的一半。
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假设m不是矩阵A的特征值。试证非齐次线性微分方程组x’=Ax+cemt有一解形如x(t)=pemt,其中c,p是常数向量。
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试求1中方程组的基解矩阵。
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