设整系数多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a0，它没有理根，又有素数p满足：证明：f（x）在Q[x]中不可约。

证明：如果Α1，Α2，...，Αs是线性空间V的s个两两不同的线性变换，那么在V中必存在向量α，使Α1α，Α2α，...，Αsα也两两不同.

设P[x]中多项式p1（x），p2（x），…，ps（x）（s≥2）的次数分别为n1，n2，…，ns，证明：若，则p1（x），p2（x），…，ps（x）在线性空间P[x]中线性相关。

设A是n级可逆矩阵，求二次型的矩阵。

证明：的不变因子是，1，f（λ），其中f（λ）=λn+a1λn-1+...+an-1λ+an.

设f（x）及G（x）是P[x]中m次及≤m+1次多项式，证明：G（n）=对所以n≥1成立的充分必要条件是G（x+1）-G（x）=f（x）且G（0）=0。

设f（x），g（x）是数域P上两个不全为零的多项式，令S={u（x）f（x）+v（x）g（x）丨u（x），v（x）∈P[x]}.证明：存在m（x）∈S，使S={h（x）m（x）丨h（x）∈P[x]}。

证明：设A∈Pn×n，Tr（A）=0，则有Pn×n中可逆矩阵T使。

f1（x），f2（x），…，fn（x）是闭区间[a，b]上的实函数，且在实数域上是线性无关的，证明：在[a，b]上存在数α1，a2，…，αn，使丨（fi（αj））丨≠0，i，j=1，2，…，n。

证明：A是幂零矩阵的充要条件是A的所有特征值全为零。