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问答题 设二次型f=2x₁²+x₂²-4x₁x₂-4x₂x₃，分别作下列满秩变换，求新二次型.

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3.问答题设有n元实二次型f（x₁，x₂，···，x_n）=（x₁+a₁x₂）²+（x₂+a₂x₃）²+···+（x_n-1+a_n-1x_n）²+（x_n+a_nx₁）²，其中a_i（i=1，2，···，n）为实数，试问，当a₁，a₂，···，a_n满足何种条件时，二次型f（x₁，x₂，···，x_n）为正定二次型.

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4.问答题 设A为n阶实对称矩阵，R（A）=n，二次型

二次型g（x₁，x₂，···，x_n）=x^TAx与f（x₁，x₂，···，x_n）的规范形是否相同？说明理由.

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5.问答题 设A为n阶实对称矩阵，R（A）=n，二次型

求二次型f的矩阵.

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6.问答题 设矩阵，矩阵B=（kE+A）²，其中k为实数，E为单位矩阵，求对角矩阵A，使B与A相似，并求k为何值时，B为正定矩阵.

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7.问答题设A为实对称矩阵，且A³-3A²+5A-3E=0，证明：A是正定矩阵.

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8.问答题设A为m×n实矩阵，已知B=λE+A^TA，证明：当λ>0，矩阵B为正定矩阵.

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9.问答题设f=x^TAx是一个实二次型，有实n维向量x₁，x₂，使x₁^TAx₁>0，x₂^TAx₂<0，证明：必有实n维非零向量x₀，使x₀^TAx₀=0.

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10.问答题设A是实对称矩阵，且〡A〡<0，证明：必存在向量x₀使x₀^TAx₀<0.

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