设F是平面上无限有界闭集,{αn}是F的一稠密子集,在ι2中定义算子T: Tx=T(x1,x2,...,xn,...)=(α1,x2,...,αnxn,...) 则αn都是特征值,σ(T)=F,F\{αn}中每个点是T的连续谱。
设X=C[O,2π],(Ax)(t)=eitx(t),x∈X,证明 σ(A)={λ||λ|=1}
设T为定义在复Hibert空间X上的有界线性算子,若存在常数α>0,使<Tx,x><tx,x>≥α0</tx,x><x,x>,则称T为正定的。证明:正定算子T必有有界逆算子T-1,并且<tx,x><x,x>‖T-1‖≤</x,x></tx,x>
设A及B是定义在llibert空X上的两个线性算子,满足 <Ax,y>=<x,By><x,by> 其中x,y为X中任意向量,证明A是有界算子。
设T是Banach空间X到賦范线性空间F中的线性算子,令 Mn={x|‖Tx‖≤n‖x‖},n=1,2,..., 证明:总有Mn0在X中稠密。
设X是线性空问,||x||1和||X||2是X上两个范数,若X按||x||1及||x||2都完备,并且由点列{xn}按||x||1收敛于0,必有按||x||2也收敛于0,证明存在证书a和b,使 a||x||1≤||x||2≤b||x||1
证明:ιp中点列xn={ξ1(n),ξ2(n),...},n=1,2,...,弱收敛于x={ξ1,ξ2,...}∈ιp的充要条件为<∞,且对每个k,=ξk
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关于开球,以下说法正确的是()。
设M是内积空间H中的子集,若,则()。
设E和F是距离空间中的点集,则以下关于“E在F中稠密”的表述,正确的是()。
设A是线性空间X的子集,则A的线性包是包含A的最小闭子空间。
赋范空间的子空间必为闭子空间。
开集恰好由该集合的所有()构成。
设X是赋范空间,d是由范数诱导的距离,则d满足()。
关于距离空间中点列的收敛性,以下说法正确的是()
设X是具有Schauder基的赋范空间,则()。
内积同构映射必为()